AMIII (1 Sem 01/02, Turma Especial)
ANÁLISE MATEMÁTICA III - 1º Semestre de 2001/2002 -
Turma Especial
Responsável:
Gustavo Granja
Aulas Teóricas: 2ª 12-13 na sala Q1, 3ª 12-13 na sala QA4 e 6ª 12 - 13 na sala
Q2.
Aulas Práticas: 4ª 15-17 na sala F1 ou 6º 10-12 na sala F2.
Aulas de dúvidas: Basta aparecerem no meu gabinete.
Costumo estar por aqui todo o dia. Para terem a certeza que estou podem telefonar ou mandar-me um
email a dizer que vêm.
A turma especial destina-se a dar aos alunos de Análise Matemática III
mais bem preparados a oportunidade de seguir um curso que, tratando os mesmos
tópicos que o curso geral, o faz de um modo mais avançado e com
uma abordagem mais conceptual (ver descrição detalhada abaixo).
Uma
página da autoria do
João Pimentel indicando algumas das coisas para
que serve o que se estuda em Análise Matemática III.
Folhas
- Resumo das aulas teóricas (adaptado dos resumos do José Natário) PostScript, PDF
Isto está completo mas provavelmente cheio de gralhas.
Exames
Exercícios
- Ficha 1 (a entregar até às 15h de quarta-feira 26 de Setembro) PostScript, PDF
- Ficha 2 (a entregar até às 15h de quarta-feira 3 de Outubro) PostScript, PDF
- Ficha 3 (a entregar até às 15h de quarta-feira 10 de Outubro) PostScript, PDF
- Ficha 4 (a entregar até às 15h de quarta-feira 17 de Outubro) PostScript, PDF
- Ficha 5 (a entregar até às 15h de quarta-feira 24 de Outubro) PostScript, PDF
- Ficha 6 (a entregar até às 15h de quarta-feira 31 de Outubro) PostScript, PDF
- Ficha 7 (a entregar até às 15h de quarta-feira 7 de Novembro) PostScript, PDF
- Ficha 8 (a entregar até às 15h de quarta-feira 14 de Novembro) PostScript, PDF
- Ficha 9 (a entregar até às 15h de quarta-feira 21 de Novembro) PostScript, PDF
- Ficha 10 (a entregar até às 15h de quarta-feira 28 de Novembro) PostScript, PDF
- Ficha 11 (a entregar até às 15h de quarta-feira 5 de Dezembro) PostScript, PDF
- Ficha 12 (a entregar até às 15h de quarta-feira 12 de Dezembro) PostScript, PDF
- Ficha 13 (a entregar até às 15h de quarta-feira 19 de Dezembro) PostScript, PDF
- Uma ficha suplementar com exercícios sobre o Teorema de Stokes PostScript, PDF
- Solução de alguns problemas das fichas 1 a 5 PostScript, PDF
Exercícios suplementares
- Exercícios para praticar a regra da cadeia PostScript, PDF
- Exercícios para praticar o teorema de Fubini PostScript, PDF
- Exercícios sobre teoremas de convergência e integrabilidade PostScript, PDF
- Exercícios sobre mudança de variável PostScript, PDF
- Exercícios sobre o teorema da divergência para campos vectoriais PostScript, PDF
- Exercícios sobre o teorema de Stokes para campos vectoriais PostScript, PDF
- Exercícios sobre aplicações do teorema da divergência para campos vectoriais PostScript, PDF
Vejam também as fichas de AMIII de Matemática e Física
deste ano , principalmente a última.
- Exercícios resolvidos sobre integração de formas e o Teorema de Stokes PostScript, PDF
- Exercícios sobre formas diferenciais em Termodinâmica PostScript, PDF
Nas páginas de Análise Matemática III de Matemática e Física deste ano e do ano passado há exercícios resolvidos sobre esta matéria.
Programa
O programa consiste no estudo de integração e diferenciação
de funções de várias variáveis, incluindo a integração
de formas diferenciais em variedades mergulhadas em Rn. O objectivo
fundamental é a demonstração do Teorema de Stokes.
Eis um calendário aproximado:
-
- Parte I
Variedades em Rn (17 Setembro - 4 Outubro)
- Semana 1
Derivação em Rn,
matriz jacobiana, regra da cadeia, derivadas parciais
- Semana 2
Teoremas da função inversa e da função implícita
- Semana 3
Variedades, gráficos e conjuntos de nível, extremos condicionados
-
- Parte II
Integração em Rn (8 de Outubro - 2 de Novembro)
- Semana 4
Integral de Lebesgue, medida de Lebesgue, integrais em Rn
- Semana 5
Integrais sobre conjuntos limitados,
integrais iterados, teorema de Fubini
- Semana 6
Mudança de variáveis, coordenadas polares, cilíndricas e esféricas
- Semana 7
Teoremas de convergência, regra de Leibniz
-
- Parte III
Formas Diferenciais (5-23 Novembro)
- Semana 8
Covectores, álgebra multilinear, tensores alternantes, álgebra exterior
- Semana 9
Formas diferenciais, leis de transformação, derivada exterior
- Semana 10
Casos especiais de formas-1, formas-2 e dimensão 3
-
- Parte IV
Integração em Variedades (26 Novembro - 21 Dezembro)
- Semana 11
Medida e integração de funções,
integral de linha de campos escalares
- Semana 12
Orientação, integração de formas, integral de linha, fluxo
- Semana 13
Teoremas da divergência, de Green e de Stokes
- Semana 14
Aplicações físicas, formas fechadas e exactas, homotopia
Bibliografia:
O texto seguido será o livro
W. Fleming, Functions of Several Variables, Springer-Verlag, 1977 (Capítulos
4 a 8).
Outros livros aconselhados são:
T. Apostol, Mathematical Analysis,
Addison-Wesley Publishing Co., 1974,
M. Spivak, Calculus on Manifolds,
W. A. Benjamin, Inc., 1965.
Avaliação
A avaliação terá duas componentes. A primeira componente será
a média das notas dos 10 melhores trabalhos de casa a entregar semanalmente até à
primeira aula prática da semana e terá o peso de 40%. A segunda componente será a nota do exame
final com peso de 60%. Haverá dois exames nas mesmas datas e horas
que os exames de Análise Matemática III de todos os cursos. É possível
que haja testes se houver interesse suficiente da vossa parte.
Os trabalhos de casa para a semana seguinte são afixados nesta página
cada quarta-feira. As aulas prática consistirão na exposição e discussão
pelos alunos dos trabalhos de casa. Os alunos são encorajados a trabalhar em
grupo e a discutir os trabalhos de casa entre si mas cada um deverá escrever
as suas respostas individualmente.
A dificuldade tanto dos exames como dos trabalhos de casa será bastante superior
à do curso normal e mesmo dos cursos de Matemática e Física.
A qualquer momento (incluindo no período de exames) os alunos poderão
decidir mudar para o curso geral sem por isso serem penalizados. A nota referente às
aulas práticas será transmitida aos responsáveis do curso
correspondente que já concordaram em utilizá-la no seu esquema de avaliação.
Para consultar páginas de Análise Matemática III deste e outros anos
cliquem aqui